行列について、調べてみた件

数 学 の 線 型 代 数 学 周 辺 分 野 に お け る 行 列 ( ぎ ょ う れ つ 、 英 : matrix) は 、 数 や 記 号 や 式 な ど を 行 と 列 に 沿 っ て 矩 形 状 に 配 列 し た も の で あ る 。 行 の 数 と 列 の 数 が 同 じ 行 列 は 行 列 の 和 ( 英 語 版 ) が 成 分 ご と の 計 算 に よ っ て 与 え ら れ る 。 行 列 の 積 の 計 算 は も っ と 複 雑 で 、 2 つ の 行 列 が か け 合 わ せ ら れ る た め に は 、 積 の 左 因 子 の 列 の 数 と 右 因 子 の 行 の 数 が 一 致 し て い な け れ ば な ら な い 。 

行 列 の 応 用 と し て 顕 著 な も の は 一 次 変 換 の 表 現 で あ る 。 一 次 変 換 は  f?(x) = 4x の よ う な 一 次 関 数 の 一 般 化 で 、 例 え ば 三 次 元 空 間 に お け る ベ ク ト ル の 回 転 な ど は 一 次 変 換 で あ り 、 R が 回 転 行 列 で  v が 空 間 の 点 の 位 置 を 表 す 列 ベ ク ト ル ( 1 列 し か な い 行 列 ) の と き 、 積  Rv は 回 転 後 の 点 の 位 置 を 表 す 列 ベ ク ト ル に な る 。 ま た  2 つ の 行 列 の 積 は 、 2 つ の 一 次 変 換 の 合 成 を 表 現 す る も の と な る 。 行 列 の 別 な 応 用 と し て は 、 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 に お け る も の で あ る 。 行 列 が 正 方 行 列 で あ る な ら ば 、 そ の い く つ か の 性 質 は 、 行 列 式 を 計 算 す る こ と に よ っ て 演 繹 す る こ と が で き る 。 例 え ば 、 正 方 行 列 が 正 則 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 、 そ の 行 列 式 の 値 が 非 零 と な る こ と で あ る 。 固 有 値 や 固 有 ベ ク ト ル は 一 次 変 換 の 幾 何 学 に 対 す る 洞 察 を 与 え る 。 行 列 の 応 用 は 科 学 的 な 分 野 の 大 半 に 及 び 、 特 に 物 理 学 に お い て 行 列 は 、 電 気 回 路 、 光 学 、 量 子 力 学 な ど の 研 究 に 利 用 さ れ る 。 コ ン ピ ュ ー タ ・ グ ラ フ ィ ッ ク ス で は 三 次 元 画 像 の 二 次 元 ス ク リ ー ン へ の 投 影 や  realistic-seeming motion を 作 る の に 行 列 が 用 い ら れ る 。 行 列 解 析 ( 英 語 版 ) は 、 古 典 的 な 解 析 学 に お け る 微 分 や 指 数 関 数 の 概 念 を 高 次 元 へ 一 般 化 す る も の で あ る 。 

主 要 な 数 値 解 析 の 分 野 は 、 行 列 計 算 の 効 果 的 な ア ル ゴ リ ズ ム の 開 発 を 扱 っ て お り 、 主 題 は 何 百 年 に も わ た っ て 今 日 で は 研 究 領 域 も 広 が っ て い る 。 行 列 の 分 解 は 、 理 論 的 に も 実 用 的 に も 計 算 を 単 純 化 す る も の で 、 ア ル ゴ リ ズ ム は 正 方 行 列 や 対 角 行 列 な ど と い っ た 行 列 の 特 定 の 構 造 に 合 わ せ て 仕 立 て ら れ て お り 、 有 限 要 素 法 や そ の ほ か の 計 が 効 率 的 に 処 理 さ れ る 。 惑 星 運 動 論 や 原 子 論 で は 無 限 次 行 列 が 現 れ る 。 関 数 の テ イ ラ ー 級 数 に 対 し て 作 用 す る 微 分 の 表 現 行 列 は 、 無 限 次 行 列 の 簡 単 な 例 で あ る 。 

歴 史 

線 型 方 程 式 の 解 法 に お け る 応 用 に 関 し て 、 行 列 は 長 い 歴 史 を 持 つ 。 紀 元 前 300年 か ら 紀 元 200年 の 間 に 書 か れ た 中 国 の 書 物 『 九 章 算 術 』 は 連 立 方 程 式 の 解 法 に 行 列 を 用 い た 最 初 の 例 で あ る と い わ れ 、 そ れ に は 行 列 式 の 概 念 が 、 日 本 の 関 が 1683年 に 、 ド イ ツ の ラ イ プ ニ ッ ツ が 1693年 に そ れ ぞ れ 独 立 に 著 す よ り も 実 に 1000年 以 上 も 前 に 扱 わ れ て い た 。 ク ラ メ ル が 有 名 な 公 式 を 生 み 出 す の は 1750年 の こ と で あ る 。 

行 列 論 の 初 期 に お い て は 、 行 列 よ り も 行 列 式 の ほ う に 非 常 に 重 き が 置 か れ て お り 、 行 列 式 か ら 離 れ て 現 代 的 な 行 列 の 概 念 と 同 種 の も の が 浮 き 彫 り に さ れ る の は 1858年 、 ケ イ リ ー の 歴 史 的 論 文  Memoir on the theory of matrices( 「 行 列 論 回 想 」 ) に お い て で あ る 。 用 語  “matrix”( ラ テ ン 語 で 「 生 み 出 す も の 」 の 意 味 の 語  “womb” に 由 来 ) は シ ル ベ ス タ ー が 導 入 し た 。 シ ル ベ ス タ ー は 行 列 を 、 ( 今 日 小 行 列 式 と 呼 ば れ る ) も と の 行 列 か ら 一 部 の 行 や 列 を 取 り 除 い て 得 ら れ る 小 行 列 の 行 列 式 と し て 、 た く さ ん の 行 列 式 を 生 じ る も の と し て 理 解 し て い た 。 1851年 の 論 文 で シ ル ベ ス タ ー は 

と 説 明 し て い る 。  行 列 式 の 研 究 は い く つ か の 流 れ か ら 生 じ て き た も の で あ る 。 数 論 的 な 問 題 は ガ ウ ス が 二 次 形 式 ( つ ま り 、 

多 く の 定 理 は 、 初 め て 確 立 さ れ た と き に は 小 さ い サ イ ズ の 行 列 に 限 っ た 主 張 と し て 示 さ れ た 。 例 え ば ケ ー リ ー = ハ ミ ル ト ン の 定 理 は 、 ケ イ リ ー が 先 述 の 回 想 録 に お い て  2 ×  2 行 列 に 対 し て 示 し 、 ハ ミ ル ト ン が  4 ×  4 行 列 に 対 し て 証 明 し て 、 そ の 後 の 1898年 に フ ロ ベ ニ ウ ス が 双 線 型 形 式 に つ い て の 研 究 の 過 程 で 任 意 次 元 に 拡 張 し た 。 ま た 、 19世 紀 の 終 わ り に 、 ( ガ ウ ス の 消 去 法 と し て 今 日 知 ら れ る も の を 特 別 の 場 合 と し て 含 む ) ガ ウ ス ?ジ ョ ル ダ ン 消 去 法 を ジ ョ ル ダ ン ( 英 語 版 ) が 確 立 し 、 20世 紀 の 初 頭 に は 行 列 は 線 型 代 数 学 の 中 心 的 役 割 を 果 た す よ う に な っ た 。 前 世 紀 の 超 複 素 数 系 の 分 類 に も 行 列 の 利 用 が 部 分 的 に 貢 献 し た 。 

ハ イ ゼ ン ベ ル ク 、 ボ ル ン 、 ジ ョ ル ダ ン ら に よ る 行 列 力 学 の 創 始 は 、 行 ま た は 列 の 数 が 無 限 で あ る よ う な 行 列 の 研 究 へ 繋 が る も の で あ っ た 。 後 に フ ォ ン ・ ノ イ マ ン は 、 ( 大 体 無 限 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド 空 間 に あ た る ) ヒ ル ベ ル ト 空 間 上 の 線 型 作 用 素 な ど の 関 数 解 析 学 的 な 概 念 を さ ら に 推 し 進 め る こ と に よ り 、 量 子 力 学 の 数 学 的 基 礎 を 提 示 し た 。 

素 朴 な 定 義 

記 法 

行 列 は 要 素  (element) を 矩 形 状 に 書 き 並 べ て 、 大 き な 丸 括 弧 ( あ る い は 角 括 弧 ) で 括 っ た 形 に 書 か れ る 。 こ こ で 文 字 送 り の 方 向 ( 横 ) の 並 び を 行  (row) と い い 、 行 送 り の 方 向 ( 縦 ) の 並 び を 列  (column) と 呼 ぶ 。 例 え ば 

は  2 つ の 行 と  3 つ の 列 を 持 つ 行 列 で あ る 。 行 列 自 身 は 、 ふ つ う は ア ル フ ァ ベ ッ ト の 大 文 字 イ タ リ ッ ク ( し ば し ば 太 字 ) で 表 し 、 そ の 要 素 は 対 応 す る 小 文 字 に 二 つ の 添 字 を 付 け た も の で 表 す ( 略 式 的 に 行 列 を 表 す 大 文 字 に 添 字 を 付 け た も の を 用 い る こ と も あ る が 、 そ の 場 合 小 行 列 の 記 号 と 紛 ら わ し い ) 。 つ ま り 一 般 の  m 行  n 列 の 行 列 を 

の よ う に 書 く 。 

成 分 

書 き 並 べ ら れ た 要 素 は 行 列 の 成 分  (entry, component) と 呼 ば れ る 。 成 分 が 取 り 得 る 値 は ( さ ま ざ ま な 対 象 を 想 定 で き る が ) 大 抵 の 場 合 は あ る 体 ま た は 可 換 環  K の 元 で あ り 、 こ の と き  K 上 の 行 列  (matrix over K) と い う 。 特 に 、 K が 実 数 全 体 の 成 す 体  R で あ る と き 実 行 列 と 呼 び 、 複 素 数 全 体 の 成 す 体  C の と き 複 素 行 列 と 呼 ぶ 。 

一 つ の 成 分 を 特 定 す る に は 、 二 つ の 添 字 が 必 要 で あ る 。 行 列 の 第  i-行 目 、 j-列 目 の 成 分 を 特 に 行 列 の  (i, j)-成 分 と 呼 ぶ 。 例 え ば 上 記 行 列  A の  (1, 2)-成 分 は  a12 で あ る 。 行 列 の  (i, j)-成 分 は ふ つ う  aij の よ う に 二 つ の 添 字 を 単 に 横 並 び に 書 く が 、 誤 解 を 避 け る た め に 添 字 の 間 に コ ン マ を 入 れ る こ と も あ る 。 例 え ば  1-行  11-列 目 の 成 分 を  a1,11 と 書 い て よ い 。 ま た 略 式 的 に は 、 行 列  A の  (i, j)-成 分 を 指 定 す る の に  Aij と い う 記 法 を 用 い る こ と が あ る 。 こ の 場 合 、 例 え ば 積 ( 後 述 ) AB の  (i, j)-成 分 を  (AB)ij と 指 定 し た り で き る の で 、 こ れ で 記 述 の 簡 素 化 を 図 れ る 場 合 も あ る 。 

行 列 の 各 々 の 行 お よ び 列 は そ れ ぞ れ 行 ベ ク ト ル お よ び 列 ベ ク ト ル と し て 言 及 さ れ る こ と も あ る 。 例 え ば 行 列 

型 

行 列 に 含 ま れ る 行 の 数 が  m, 列 の 数 が  n で あ る 時 に 、 そ の 行 列 を  m 行  n 列 行 列 や  m ×  n 行 列 、 mn 行 列 な ど と 呼 ぶ 。 行 列 を 構 成 す る 行 の 数 と 列 の 数 の 対 を 型  (type) あ る い は サ イ ズ と い う 。 し た が っ て  m 行  n 列 行 列 の こ と を  (m, n)-型 行 列 な ど と 呼 ぶ こ と も あ る 。 K 上 の  m ×  n 行 列 の 全 体 は  Km× n, Km,n や  Mat(m, n; K), Mm× n(K) な ど で 表 さ れ る 。 

厳 密 な 定 義 

行 列 は 二 重 に 添 字 づ け ら れ た 族 で あ り 、 き ち ん と 言 え ば 、 添 字 の 各 対  (i, j) に 成 分  aij を 割 り 当 て る 二 変 数 写 像 

で あ る 。 例 え ば 添 字 の 対  (1, 2) に は 写 像 の 値 と し て  a12 が 割 り 当 て ら れ る 。 即 ち 、 値  aij は 行 列 の  i-行  j-列 成 分 で あ り 、 m お よ び  n は そ れ ぞ れ 行 お よ び 列 の 数 を 意 味 す る 。 写 像 と し て の 行 列 の 定 義 と 行 列 が 表 す 線 型 写 像 と を 混 同 し て は な ら な い 。 

K に 成 分 を 持 つ  m ×  n 行 列 の 全 体 は 、 し た が っ て 配 置 集 合 

で あ り 、 省 略 形 と し て  Km× n( あ る い は や や 稀 だ が  mKn) や  M(m× n; K) な ど と 書 く こ と の 一 つ の 根 拠 に な る 。 

行 の 数 と 列 の 数 が 一 致 す る よ う な 行 列 は 正 方 行 列 と 呼 ば れ る 。 

た だ 一 つ の 列 を 持 つ 行 列 は 列 ベ ク ト ル 、 た だ 一 つ の 行 を 持 つ 行 列 は 行 ベ ク ト ル と 呼 ば れ る 。 Kn の ベ ク ト ル は 、 文 脈 に よ っ て 行 ベ ク ト ル 空 間  K1× n ま た は 列 ベ ク ト ル 空 間  Kn× 1 の 元 を 表 す の に も 用 い ら れ る 。 

行 列 の 演 算 

基 本 演 算 

二 つ の 行 列 は 、 そ れ が 同 じ 型 を 持 つ な ら ば 互 い に 加 え る こ と が で き る 、 異 な る 型 の 行 列 に 対 し て は 和 は 定 義 さ れ な い 。 m 行  n 列 の 行 列 同 士 の 和 を 、 成 分 ご と の 和 

で 定 め る 。 

例 え ば 

で あ る 。 

線 型 代 数 学 に お い て 成 分 は ふ つ う ( 実 数 や 複 素 数 の 全 体 の よ う な ) 体 で あ り 、 こ の 場 合 の 行 列 の 加 法 は 、 結 合 的 か つ 可 換 で あ り 、 ま た 単 位 元 と し て 零 行 列 

を 持 つ 。 一 般 に 、 こ れ ら の 三 性 質 を 満 た す 代 数 系 に 成 分 を 持 つ ( 同 じ 型 の ) 行 列 の 全 体 は 、 や は り こ れ ら の 性 質 を 満 た す 。 

行 列 の 各 成 分 に 一 つ の ス カ ラ ー を 掛 け る こ と に よ り 、 任 意 の 行 列 の ス カ ラ ー 倍 

が 定 義 さ れ る 。 例 え ば 、 

で あ る 。 

ス カ ラ ー 乗 法 が 意 味 を 持 つ た め に は 、 ス カ ラ ー  λ  と 行 列 の 成 分 が 同 じ 環  (K, +, ・ , 0) か ら と っ た 元 で あ る べ き で あ り 、 こ の と き  m ×  n 行 列 の 全 体  Km× n は 、 左  K-加 群 ( K が 体 な ら ば ベ ク ト ル 空 間 ) に な る 。 ベ ク ト ル 空 間 ( あ る い は 自 由 加 群 ) と し て の  Km× n は  mn 次 元 数 ベ ク ト ル 空 間  Kmn と 同 型 で あ る 。 

行 列 の 積 を 初 め て 定 義 し た の は ケ イ リ ー で あ る 。 行 列 の 積 は 狭 い 意 味 で の 二 項 演 算 ( 即 ち 、 台 と す る 集 合  X に 対 し て  X ×  X →  X な る 写 像 を 定 め る も の ) で は な い 。 l ×  m 行 列  A と  m ×  n 行 列  B の 積 は  l ×  n 行 列 と な り 、 C = AB の  (i, j) 成 分  cij は 、 

で 与 え ら れ る 。 

例 え ば 、 

で あ る 。 

正 方 行 列 に 関 し て 行 列 の 乗 法 は 特 別 な 役 割 を 持 つ 。 環  R 上 の 正 方 行 列 全 体  Rn× n は 行 列 の 加 法 と 乗 法 に 関 し て 、 ふ た た び 環 を 成 す の で あ る 。 環  R が 単 位 的 ( つ ま り 単 位 元  1 を 持 つ ) な ら ば 、 単 位 行 列 

は 行 列 の 積 に 関 す る 単 位 元 と な り 、 環  Rn× n も ま た 単 位 的 と な る 。 し か し 、 n > 1 の と き 、 こ の 環 は ( 基 礎 環  R が 可 換 環 で あ っ て も ) 可 換 環 で な い 。 

行 列 が 区 分 行 列 に 分 解 さ れ る と き 、 そ の よ う な 行 列 の 積 は 、 そ れ ら の ブ ロ ッ ク が 適 当 な サ イ ズ な ら ば 、 ブ ロ ッ ク 成 分 ご と に 積 を 計 算 す る こ と が で き る 。 例 え ば 

で あ る 。 こ こ で  E2 は 二 次 の 単 位 行 列 、 右 辺 の  0 は 全 て の 成 分 が  0R( 基 礎 環  R の 零 元 ) で あ る よ う な 適 当 な サ イ ズ の 行 列 で あ る 。 

m ×  n 行 列  A = (aij) の 転 置 と は  n ×  m 行 列  tA = (aji), 即 ち 

で あ る 。 こ れ は も と の 行 列 の 各 列 を 各 行 に 持 つ 行 列 で あ り 、 主 対 角 成 分  a11, a22, …  に 関 し て 折 り 返 し た も の に な っ て い る 。 

転 置 行 列 は 以 下 の 計 算 規 則 に 従 う : 

行 列 式 

n ×  n 行 列  A = (aij) の 行 列 式 と は 、 

で 定 義 さ れ る 数 で あ る 。 こ れ は 行 列 の 固 有 値 の 積 と 一 致 し 、 det(En) = 1, det(AB) = det(A) det(B) な ど が 成 り 立 つ 。 

ラ ン ク 

行 列  A の ラ ン ク ま た は 階 数 と は 、 こ の 行 列 の 列 ベ ク ト ル の 中 で 線 型 独 立 な も の の 最 大 個 数 で あ り 、 ま た  行 ベ ク ト ル の 中 で 線 型 独 立 な も の の 最 大 個 数 と も 等 し い 。 あ る い は  A の 表 現 す る 線 型 写 像 の 像 の 次 元 と 言 っ て も 同 じ で あ る 。 階 数 ・ 退 化 次 数 の 定 理 は 、 行 列 の 核 に 階 数 を 加 え る と 、 そ の 行 列 の 列 の 数 に 等 し い こ と を 述 べ る も の で あ る 。 

ト レ ー ス 

n ×  n 行 列  A = (aij) の ト レ ー ス ま た は 跡 と は 、 そ の 対 角 線 上 に あ る 成 分 の 和 

の こ と で あ る 。 こ れ は  tr(AB) = tr(BA) を 満 た し 、 行 列 の ト レ ー ス は そ の 固 有 値 の 和 に 等 し い こ と が わ か る 。 

内 積 と ノ ル ム 

K-加 群 と し て の  Mm× n(K) は ま た 、 行 列 の 積  tAB の ト レ ー ス 

を 内 積 に 持 つ 。 K = R の と き 、 こ れ は ユ ー ク リ ッ ド ノ ル ム を 導 き 、 Mm× n(R) は  mn-次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間  Kmn に な る 。 こ の 内 積 空 間 に お い て 、 対 称 行 列 全 体 の 成 す 部 分 空 間 と 歪 対 称 行 列 全 体 の 成 す 部 分 空 間 と は 互 い に 直 交 す る 。 即 ち 、 A が 対 称 , B が 歪 対 称 な ら ば  ?A, B? = 0 が 成 り 立 つ 。 同 様 に  K = C の 場 合 に は 、 Mm× n(C) は 

( た だ し 、 上 付 き の バ ー は 複 素 共 軛 ) を エ ル ミ ー ト 内 積 と し て 複 素 ユ ニ タ リ 空 間 を 成 す ( こ の 内 積 を ヒ ル ベ ル ト ・ シ ュ ミ ッ ト 内 積 と 呼 ぶ ) 。 こ の 内 積 は フ ロ ベ ニ ウ ス ノ ル ム を 導 き 、 Mm× n(C) は バ ナ ッ ハ 空 間 と な る 。 

そ の 他 の 演 算 

任 意 の 行 列  B に 対 し 、 そ の 成 分 を そ れ ぞ れ の 成 分 の 加 法 逆 元 に 全 て 取 り 換 え た 行 列 を  ?B と 書 け ば 、 同 じ サ イ ズ の 行 列  A, B の 和  A + (?B) を  A ? B と 略 記 し て 差 を 定 め る こ と が で き る 。 よ り 強 く 、 ス カ ラ ー 乗 法 が 定 義 さ れ る 場 合 に は 、 特 に ス カ ラ ー  (?1)-倍 は  (?1)B = ?B を 満 た す の だ か ら 、 和 と ス カ ラ ー 倍 を 使 っ て 差 を 定 義 す る こ と も で き る 。 

と す れ ば よ い . 

n ×  n の 正 方 行 列  A に 対 し て 行 列 の べ き 乗 は  An (こ こ で  n は 実 数 ) と 書 か れ る 。 

行 列  A が 対 角 化 可 能 で あ れ ば 、 An = (P?1DP)n = P?1DnP と し て 容 易 に 計 算 で き る 。 

v と  w を  n ×  1 の 列 ベ ク ト ル と す る と 、 v と  w と の 間 に 行 列 の 積 は 定 義 さ れ な い が 、 tv?w お よ び  v?tw は 行 列 の 積 と し て 定 義 す る こ と が で き る 。 前 者 は  1 ×  1 行 列 で あ り 、 こ れ を ス カ ラ ー と 解 釈 す れ ば 、 v と  w と の 標 準 内 積  ?v, w? に 他 な ら な い 。 い っ ぽ う 後 者 は 、 階 数  1 の  n ×  n 行 列 で 、 v と  w と の 二 項 積  vw あ る い は テ ン ソ ル 積  v ? w と 呼 ば れ る 。 

可 換 環  K 上 の  m ×  n 行 列 の 全 体  Mm× n(K) は 加 法 と ス カ ラ ー 倍 に つ い て  K-加 群 を 成 す ば か り で な く 、 そ の 上 の 三 項 演 算 

を 定 義 す る こ と が で き る 。 こ れ と 同 様 の 方 法 で 得 ら れ る 三 重 線 型 な 三 項 系 ( 三 項 積 ) の 一 般 論 は 、 ジ ョ ル ダ ン 環 あ る い は リ ー 環 の 理 論 と か か わ り を 持 つ 。 

定 義 さ れ な い 演 算 

以 下 の よ う な 計 算 は 定 義 さ れ な い た め 実 行 し て は な ら な い 。 

  • 異 な る 型 の 行 列 同 士 の 和 
  • 正 方 行 列 で は な い 行 列 の 逆 行 列 
  • 正 方 行 列 で は な い 行 列 の 行 列 式 
  • 正 方 行 列 で は な い 行 列 の 固 有 値 
  • 正 方 行 列 で は な い 行 列 の ト レ ー ス 
  • 行 列 の 分 解 

    行 列 を 2つ あ る い は 3つ の 行 列 の 積 に 因 数 分 解 す る に は 以 下 の 方 法 が 知 ら れ て い る 。 

  • LU分 解  – 正 方 行 列 Aを 下 三 角 行 列 と 上 三 角 行 列 の 積 に 分 解 。  A = LU
  • コ レ ス キ ー 分 解  – 正 値 対 称 行 列 (ま た は エ ル ミ ー ト 行 列 )Aを 下 三 角 行 列 と 上 三 角 行 列 の 積 に 分 解 。  A = U*U
  • QR分 解  – (m,n)行 列 を 直 交 行 列 (ま た は ユ ニ タ リ 行 列 )Qと 上 三 角 行 列 Rに 分 解  A = QR
  • 固 有 値 分 解  –
  • 特 異 値 分 解  – (m,n)行 列 を 直 交 行 列 (ま た は ユ ニ タ リ 行 列 )U,Vと 対 角 行 列 Dに 分 解  A = UDV*
  • さ ま ざ ま な 行 列 

    行 列 サ イ ズ に よ る 分 類 

  • 正 方 行 列 
  • 行 列 成 分 が 特 別 な 形 の 行 列 

  • 零 行 列 
  • 対 角 行 列 
  • 三 角 行 列 
  • ハ ン ケ ル 行 列 
  • 作 用 素 に よ る 作 用 を 受 け た 行 列 

  • 転 置 行 列 
  • 随 伴 行 列 
  • 対 称 性 が あ る 行 列 

  • 対 称 行 列 
  • エ ル ミ ー ト 行 列 
  • 正 規 行 列  – ユ ニ タ リ 対 角 化 可 能 な 行 列 の ク ラ ス 
  • 群 を 構 成 す る 行 列 

  • 単 位 元  – 単 位 行 列 
  • 逆 元  – 正 則 行 列  – 逆 行 列 
  • 直 交 行 列  – 直 交 群 
  • 回 転 行 列  – 特 殊 直 交 群 
  • ユ ニ タ リ 行 列  – ユ ニ タ リ 群 
  • 線 型 写 像 

    行 列 と そ の 乗 法 は 、 こ れ を 一 次 変 換 ( つ ま り 線 型 写 像 ) と 関 連 付 け る と き 、 そ の 本 質 的 な 特 徴 が 浮 き 彫 り に な る 。 

    こ の と き 、 行 列  A は 線 型 写 像  f を 表 現 す る と 言 い 、 A を  f の 変 換 行 列 ま た は 表 現 行 列 と 呼 ぶ 。 

    例 え ば  2 ×  2 行 列 

    こ の 行 列 と 線 型 写 像 と の 間 の 一 対 一 対 応 の も と で 、 行 列 の 乗 法 は 写 像 の 合 成 に 対 応 す る : 上 記 の  A と  f に 加 え て 、 k ×  m 行 列  B が 別 の 線 型 写 像  g: Rm →  Rk を 表 現 す る も の な ら ば 、 合 成  g ? f は 行 列 の 積  BA で 表 現 さ れ る 。 実 際 、 

    で あ る 。 最 後 の 等 号 は 行 列 の 積 の 結 合 性 に よ る 。 

    行 列 の 抽 象 代 数 的 側 面 と 一 般 化 

    行 列 の 一 般 化 の 方 向 性 は い く つ か 異 な る も の が 存 在 す る 。 抽 象 代 数 学 で は 行 列 の 成 分 を も っ と 一 般 の ( 可 換 と は 限 ら な い ) 体 や 環 と し た も の を 用 い る し 、 線 型 代 数 学 は 線 型 写 像 の 概 念 を 機 軸 に 行 列 の 性 質 を 体 系 化 し た も の で あ る 。 ま た 行 や 列 の 数 を 無 限 に 増 や し た 行 列 と い う も の を 考 え る こ と も で き る 。 他 の 拡 張 と し て テ ン ソ ル は 、 ( 行 列 が 矩 形 状 あ る い は 二 次 元 の 数 の 配 列 と 見 る こ と が で き る の に 対 し て ) 数 の 配 列 を 高 次 化 し た も の と 見 る こ と も で き る し 、 ベ ク ト ル の 双 対 や 数 列 と し て 実 現 す る こ と も で き る も の で あ る 。 適 当 な 制 約 条 件 を 満 足 す る 行 列 の 集 ま り は 、 行 列 群 あ る い は 線 型 代 数 群 な ど と 呼 ば れ る 群 を 成 す 。 

    よ り 一 般 の 成 分 を 持 つ 行 列 

    し ば し ば 実 ま た は 複 素 成 分 の 行 列 に 焦 点 を 当 て る こ と も あ る が 、 そ れ 以 外 に も も っ と 一 般 の 種 類 の 成 分 を 持 っ た 行 列 を 考 え る こ と が で き る 。 一 般 化 の 最 初 の 段 階 と し て 任 意 の 体 ( す な わ ち 四 則 演 算 が 自 由 に で き る 集 合 、 例 え ば  R, C 以 外 に 有 理 数 体  Q や 有 限 体  Fqな ど ) を 成 分 と し て 考 え る 。 例 え ば 符 号 理 論 で は 有 限 体 上 の 行 列 を 利 用 す る 。 ど の 体 で 考 え る と し て も 、 固 有 値 は 多 項 式 の 根 と し て 考 え る こ と が で き て 、 そ れ は 行 列 の 係 数 体 の 拡 大 体 の 中 に 存 在 す る 。 た と え ば 、 実 行 列 の 場 合 は 固 有 値 は 複 素 数 で あ る 。 あ る 行 列 の 成 分 を よ り 大 き な 体 の 元 と 解 釈 し な お す こ と は で き る ( 例 え ば 実 行 列 を 全 て の 成 分 が 実 数 で あ る よ う な 複 素 行 列 と み る こ と が で き る ) か ら 、 そ の よ う な 十 分 大 き な 体 の 中 で 任 意 の 正 方 行 列 に つ い て そ の 固 有 値 全 て か ら 成 る 集 合 を 考 え る こ と が で き る 。 あ る い は 最 初 か ら 、 複 素 数 体  C の よ う な 代 数 閉 体 に 成 分 を 持 つ よ う な 行 列 の み を 考 え る も の と す る こ と も で き る 。 

    も っ と 一 般 に 、 抽 象 代 数 学 で は 環 に 成 分 を 持 つ 行 列 と い う も の が 甚 だ 有 用 で あ る 。 環 は 除 法 演 算 を 持 た な い 点 に お い て 体 よ り も 一 般 の 概 念 で あ る 。 こ の 場 合 も 、 行 列 の 加 法 と 乗 法 は そ の ま ま ま っ た く 同 じ 物 を 使 う こ と が で き る 。 R 上 の  n-次 正 方 行 列 全 体 の 成 す 集 合  M(n, R) は 全 行 列 環 と 呼 ば れ る 環 で あ り 、 左  R-加 群  Rn の 自 己 準 同 型 環 に 同 型 で あ る 。 環  R が 可 換 環 、 す な わ ち そ の 乗 法 が 可 換 律 を 満 た す な ら ば 、 全 行 列 環  M(n, R) は ( n = 1 で な い 限 り ) 非 可 換 な  R 上 の 単 位 的 結 合 多 元 環 と な る 。 可 換 環  R 上 の 正 方 行 列 の 行 列 式 は ラ イ プ ニ ッ ツ の 公 式 を 用 い て 定 義 す る こ と が で き て 、 可 換 環  R 上 の 正 方 行 列 が 可 逆 で あ る こ と の 必 要 十 分 条 件 を そ の 行 列 式 が  R の 可 逆 元 で あ る こ と と 述 べ る こ と が で き る ( こ れ は 零 元 で な い 任 意 の 元 が 可 逆 元 で あ っ た 体 の 場 合 の 一 般 化 に な っ て い る ) 。 超 環 ( 英 語 版 ) 上 の 行 列 は 超 行 列 ( 英 語 版 ) と 呼 ば れ る 。 

    行 列 の 成 分 が 必 ず し も す べ て 同 じ 環 に 属 す る と い う わ け で は な い ( し 、 す べ て が 全 く 別 の 環 に 成 分 を 持 つ と い う わ け で も な い ) 。 一 つ の 特 別 な 、 し か し よ く 用 い ら れ る 場 合 と し て 、 成 分 自 体 が 行 列 と な っ て い る よ う な 行 列 と 見 な す こ と も で き る 区 分 行 列 が 挙 げ ら れ る 。 そ の 成 分 は 二 次 元 的 な 行 列 で あ る 必 要 は な い し 、 ま た 通 常 の 環 の 元 で あ る 必 要 も な い が 、 そ の 大 き さ に 関 し て は 適 当 な 両 立 条 件 を 満 足 す る も の で な け れ ば な ら な い 。 

    線 型 写 像 と の 関 係 

    線 型 写 像  Rn →  Rm は 既 に 述 べ た よ う に  m ×  n 行 列 と 等 価 で あ る 。 一 般 に 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 線 型 写 像  f: V →  W は ( V の 次 元 を  n, W の 次 元 を  m と し て )  V の 基 底  v1, … , vn と  W の 基 底  w1, … , wm を 選 べ ば 

    を 満 た す 行 列  A = (aij) に よ っ て 記 述 す る こ と が で き る 。 言 い 換 え れ ば 、  A の 第  j-列 は 基 底 ベ ク ト ル  vj の 像 を  W の 基 底  {wi} に 関 し て 表 し た も の に な っ て い る 。 従 っ て こ の よ う な 関 係 は 行 列  A の 成 分 か ら 一 意 的 に 定 ま る 。 注 意 す べ き は 線 型 写 像 を 表 す 行 列 は 基 底 の 取 り 方 に 依 存 す る こ と で あ る 。 基 底 の 取 り 方 を 変 え れ ば 別 な 行 列 が 生 じ る が 、 そ れ は も と の 行 列 と 同 値 に な る 。 既 に 述 べ た 具 体 的 な 概 念 の 多 く は こ の 方 法 を 通 し て 解 釈 し な お す こ と が で き る 。 例 え ば 転 置 行 列  A? は  A の 定 め る 線 型 写 像 の 転 置 写 像 を 、 双 対 基 底 に 関 し て 記 述 す る も の で あ る 。 。 

    よ り 一 般 に 、 m ×  n 行 列 全 体 の 成 す 集 合 は 、 勝 手 な 単 位 的 環  R に 対 し て 自 由 加 群  Rm お よ び  Rn の 間 の  R-線 型 写 像 を 表 す の に 利 用 す る こ と が で き る 。 n = m の と き 、 そ の よ う な 写 像 の 合 成 を 定 義 す る こ と が で き て 、 n-次 正 方 行 列 全 体 の 成 す 全 行 列 環 が 、 Rn の 自 己 準 同 型 環 を 表 現 す る も の と し て 生 じ る 。 

    行 列 群 

    群 と い う の は 集 合 と 二 項 演 算 ( つ ま り 、 任 意 の 二 つ の 対 象 を 結 合 し て 第 三 の 対 象 を 作 る 操 作 ) か ら な る 数 学 的 構 造 で 、 適 当 な 条 件 を 満 た す も の で あ る 。 行 列 を そ の 元 と し 、 行 列 の 積 を 群 演 算 と す る よ う な 群 は 、 行 列 群 ま た は 線 型 代 数 群 と 呼 ば れ る 。 群 の 任 意 の 元 は 可 逆 で あ る か ら 、 最 も 一 般 の 行 列 群 は 与 え ら れ た サ イ ズ の 可 逆 行 列 全 体 の 成 す 群  GLn で あ り 、 一 般 線 型 群 と 呼 ば れ る 。 

    行 列 の 性 質 の う ち で 積 と 反 転 に 関 し て 保 た れ る も の を 用 い る と 、 さ ら に 別 の 行 列 群 を 定 義 す る こ と も で き る 。 例 え ば 、 与 え ら れ た サ イ ズ の 行 列 式 が  1 で あ る よ う な 行 列 の 全 体 は 、 同 じ サ イ ズ の 一 般 線 型 群 に 含 ま れ る 部 分 群 と な り 、 特 殊 線 型 群  SLn と 呼 ば れ る 。 ま た 、 条 件 

    で 定 ま る 直 交 行 列 の 全 体 は 直 交 群  O(n) を 成 す 。 「 直 交 」 の 名 は 、 対 応 す る  Rn の 線 型 変 換 が 、 M を 掛 け る 操 作 で 二 つ の ベ ク ト ル の 内 積 を 変 え な い 

    と い う 意 味 で 角 を 保 つ こ と に 由 来 す る 。  任 意 の 有 限 群 は 何 ら か の 行 列 群 同 型 で あ る 。 な ん と な れ ば 対 称 群 の 正 則 表 現 を 考 え れ ば よ い 。 故 に 、 表 現 論 の 意 味 で 、 一 般 の 群 を 比 較 的 よ く わ か っ て い る 行 列 群 を 用 い て 調 べ る こ と が で き る 。 

    無 限 次 行 列 

    行 ま た は 列 の 数 を 無 限 に し た 行 列 と 呼 べ る よ う な も の も 考 え る こ と が で き る が 、 そ の よ う な も の を 陽 な か た ち に 書 き 記 す こ と は で き な い の で 、 行 を 添 字 付 け る 集 合 と 列 を 添 字 付 け る 集 合 を 用 意 し て ( 添 字 集 合 は 必 ず し も 自 然 数 か ら 成 る も の で な く て よ い ) 、 そ れ ら の 各 元 に 対 し て 行 列 の 成 分 が 矛 盾 無 く 定 義 さ れ る と い う 方 法 で 扱 う こ と に な る 。 こ の と き 、 和 ・ 差 、 ス カ ラ ー 倍 、 転 置 と い っ た 基 本 演 算 に つ い て は 問 題 な く 定 義 さ れ る が 、 行 列 の 乗 法 に 関 し て は そ の 成 分 が 無 限 和 と し て 与 え ら れ る こ と に な り 、 こ れ は ( 適 当 な 制 約 条 件 を 抜 き に し て は ) 一 般 に は 定 義 さ れ な い 。 

    R を 任 意 の 単 位 的 環 と す れ ば 、 右  R-加 群 と し て の 

    無 限 次 元 行 列 を 線 型 写 像 を 記 述 す る の に 用 い る な ら ば 、 次 に 述 べ る よ う な 理 由 か ら 、 そ の 各 列 ベ ク ト ル が 有 限 個 の 例 外 を 除 い て 全 て の 成 分 が  0 と な る も の と な ら な け れ ば 無 用 で あ る 。 A が 適 当 な 基 底 に 関 し て 線 型 写 像  f: V →  W を 表 現 す る も の と す る と 、 そ れ は 定 義 に よ り 、 空 間 の 任 意 の ベ ク ト ル を 基 底 ベ ク ト ル の ( 有 限 ) 線 型 結 合 と し て 一 意 に 表 す こ と に よ っ て 与 え ら れ る の で あ る か ら 、 従 っ て ( 列 ) ベ ク ト ル  v の 成 分  vi で 非 零 と な る も の は 有 限 個 に 限 ら れ る 。 ま た 、 A の 各 列 は  V の 各 基 底 ベ ク ト ル の  f に よ る 像 を  W の 基 底 に 関 し て 表 し た も の と な っ て い る か ら 、 こ れ が 意 味 を 持 つ の は こ れ ら の 列 ベ ク ト ル の 非 零 成 分 が 有 限 個 で あ る 場 合 に 限 る 。 し か し 一 方 で 、 A の 行 に 関 し て は 何 の 制 約 も な い 。 事 実 、 v の 非 零 成 分 が 有 限 個 で あ る な ら ば 、 積  Av は そ の 各 成 分 が 見 か け 上 無 限 和 の 形 で 与 え ら れ る と し て も 、 実 際 に は そ れ は 非 零 の 項 が 有 限 個 し か な い か ら 、 間 違 い な く 決 定 す る こ と が で き る 。 さ ら に 言 え ば 、 こ れ は  A の 実 質 的 に 有 限 個 の 列 の 線 型 結 合 を 成 す こ と に な り 、 ま た 各 列 の 非 零 成 分 は 有 限 個 だ か ら 結 果 と し て 得 ら れ る 和 も 非 零 成 分 が 有 限 個 に な る 。 ( 通 常 は 、 行 と 列 が 同 じ 集 合 で 添 字 付 け ら れ る よ う な ) 与 え ら れ た 型 の 二 つ の 行 列 の 積 は 矛 盾 無 く 定 義 で き て 、 も と と 同 じ 型 を 持 ち 、 線 型 写 像 の 合 成 に 対 応 す る こ と も 確 認 で き る 。 

    R が ノ ル ム 環 な ら ば 、 行 ま た は 列 に 関 す る 有 限 性 条 件 を 緩 め る こ と が で き る 。 す な わ ち 、 有 限 和 の 代 わ り に 、 そ の ノ ル ム に 関 す る 絶 対 収 束 級 数 を 考 え れ ば よ い 。 例 え ば 、 列 和 が 絶 対 収 束 列 と な る よ う な 行 列 の 全 体 は 環 を 成 す 。 も ち ろ ん 同 様 に 、 行 和 が 絶 対 収 束 列 と な る よ う な 行 列 の 全 体 も 環 を 成 す 。 

    こ の 文 脈 で は 、 収 束 し て 連 続 的 な 問 題 を 生 じ 、 適 当 な 制 約 条 件 を 満 た す よ う な 無 限 次 行 列 は ヒ ル ベ ル ト 空 間 上 の 作 用 素 を 記 述 す る も の と し て 利 用 す る こ と が で き る 。 し か し 、 こ の よ う な や り 方 は 行 列 と し て の 陽 な 観 点 は 曖 昧 に な り が ち で あ り 、 む し ろ そ の 代 わ り に 関 数 解 析 学 の 抽 象 的 で よ り 強 力 な 手 法 が 利 用 で き る 。 

    空 行 列 

    空 行 列 は 行 ま た は 列 ( あ る い は そ の 両 方 ) の 数 が  0 で あ る よ う な 行 列 を い う 。 零 ベ ク ト ル 空 間 を 含 め て 写 像 を 考 え る 場 合 に 、 空 行 列 は 役 に 立 つ 。 例 え ば 、 A が  3 ×  0 行 列 で  B が  0 ×  3 行 列 な ら ば 、 積  AB は 三 次 元 空 間  V か ら そ れ 自 身 へ の 空 写 像 に 対 応 す る  3 ×  3 零 行 列 で あ る 。 空 行 列 を 表 す 記 号 と い う の は 特 に 定 ま っ て は い な い が 、 多 く の 数 式 処 理 シ ス テ ム で は 空 行 列 を 作 成 し た り 空 行 列 に 関 す る 計 算 を し た り す る こ と が で き る 。 0 ×  0 行 列 の 行 列 式 は  1 と 定 義 さ れ る 。 こ れ は 行 列 式 に 関 す る ラ イ プ ニ ッ ツ の 公 式 ( 置 換 に 関 す る 和 と し て 表 す 公 式 ) が 空 積 と な り 、 そ れ は 通 常  1 で あ る こ と に よ る 。 ま た こ の こ と は 、 任 意 の 有 限 次 元 空 間 に お け る 恒 等 変 換 ( に 対 応 す る 行 列 ) の 行 列 式 が  1 で あ る と い う 事 実 と も 整 合 す る 。 

    注 

    注 釈 

    出 典 

    参 考 文 献 

  • Arnold, V. I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3 
  • Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 
  • Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw?Hill, ISBN 978-0-07-059376-3 
  • Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3 
  • Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9 
  • Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall 
  • Bronson, Richard (1989), Schaum’s outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw?Hill, ISBN 978-0-07-007978-6 
  • Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
  • Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York: Macmillan, OCLC 1029828 
  • Conrey, J. B. (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8 
  • Fudenberg, D.; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press 
  • Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4 
  • Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 
  • Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7 
  • Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, MR 675952 
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. MR 2978290. https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC. 
  • Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York: Dover Publications, MR 0378371 
  • Krzanowski, W. J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, MR 969370 
  • Ito, Kiyosi, ed. (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I–IV (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, MR 901762 
  • Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley 
  • Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8 
  • Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC 
  • Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st ed.), Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8 
  • Manning, Christopher D.; Schutze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9 
  • Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York: McGraw?Hill, ISBN 978-0-07-096612-3 
  • Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7, http://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant 
  • Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 449, ISBN 978-0-387-30303-1 
  • Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O’Reilly, ISBN 978-0-596-00419-4 
  • Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), “ LU Decomposition and Its Applications” , Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 34?42, http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf 
  • Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7 
  • Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0 
  • Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2 
  • ?olin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0 
  • Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5 
  • Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3 
  • Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8, MR 1458894 
  • Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th ed.), Champaign, Ill: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6 
  • 物 理 学 に 関 す る も の 

  • Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2 
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9 
  • Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7 
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw?Hill, ISBN 0-07-032071-3 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X 
  • Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw?Hill 
  • Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7 
  • Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice?Hall International, ISBN 0-13-365461-3 
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Edouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1 
  • 歴 史 に 関 す る も の 

  • Bocher, Maxime (2004), Introduction to higher algebra, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5 , reprint of the 1907 original edition
  • Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841?1853), Cambridge University Press, pp. 123?126, http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 
  • Dieudonne, Jean, ed. (1978), Abrege d’histoire des mathematiques 1700-1900, Paris: Hermann 
  • Hawkins, Thomas (1975), “ Cauchy and the spectral theory of matrices” , Historia Mathematica 2: 1?29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, ISSN 0315-0860, MR 0469635 
  • Knobloch, Eberhard (1994), “ From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations” , The intersection of history and mathematics, Sci. Networks Hist. Stud., 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, pp. 51?66, MR 1308079 
  • Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt, ed., Leopold Kronecker’s Werke, Teubner, http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 
  • Mehra, J.; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9 
  • Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0 
  • Weierstrass, Karl (1915), Collected works, 3, http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 
  • 関 連 項 目 

  • 線 型 代 数 学 
  • 行 列 式 
  • 線 型 写 像 
  • 固 有 値 
  • 対 角 化 
  • ジ ョ ル ダ ン 標 準 形 
  • MATLAB
  • R言 語 
  • ※ 参照元:https://ja.wikipedia.org


    /計算/式計算/掛け算/のできる法律相談所弁護士/積/英語/固有値/対角化/数学/ランク/内積/微分/転置/弁護士/階数/逆/動画/トレース/連立方程式/n乗/det/正則/回転/ノルム/絶対値/ベクトル/の計算/入れ替え/演算/公式/基本変形/外積/指数関数/方程式/足し算/計算サイト/割り算/意味/積計算/計算機/ランチ/店/基礎/スイーツ/グルメ/変換/積順番/分解/ラーメン/エクセル/掃き出し法/次元/tex/因数分解/司会/代行/成分/i/問題/解き方/乗算/連立一次方程式/要素/ゲスト/計算プログラム/一次変換/展開/イラスト/ランク計算/記号/可換/基底/c言語/さんま/和/式/微分方程式/計算エクセル/プログラミング/東京/定義/暇つぶし/視聴率/表記/積c言語/参考書/女弁護士/detとは/ランチ東京/座標変換/方程式解き方/椅子/法律/グルメ関東/待ち時間/パン屋/計算順番/数学基礎/出演者/表現/逆数/アシスタント/乗/入門/反転/お菓子/条件数/使い道/大阪/余因子/row/画像/電卓/求め方/例題/自由度/漸化式/mc/変換エクセル/平行移動/像/アスタリスク/単位/掛け算プログラム/高橋一生/応用/折りたたみ椅子/問題集/スペシャル/直積/階数計算/お店/マツコ/ゲーム/練習問題/見逃し/相談/パンケーキ/離婚/ラーメン東京/ハンバーグ/数列/パン/双子/グルメ大阪/ツイッター/大学入試/グルメ関西/丸山/独立/理論/芸人/恐妻家/操作/並び替え/本/待ち時間対策/フリー素材/ポール/番号/累乗計算/入試問題/wiki/バイト/パスタソース/グラビア/日テレ/ソフト/逆公式/うどん/大きさ求め方/グッズ/のできる英語ブログ/焼肉/ハミルトン/ロープ/ポップコーン/バームクーヘン/防寒対策/プロポーズ/プリン/防寒/占い師暁さん/宮迫腹筋/ピザ/離婚した人/中目黒ピザ/占い/式/アナウンサー/adj/表し方/a/インバース/一次独立/移項/打首獄門同好会/u/美しい/