数学について、調べてみた件

数 学 ( す う が く 、 希 : μ α θ η μ α τ ι κ ?, 羅 : mathematica, 英 : mathematics) は 、 量 ( 数 ) 、 構 造 、 空 間 、 変 化 に つ い て 研 究 す る 学 問 で あ る 。 数 学 の 範 囲 と 定 義 に つ い て は 、 数 学 者 や 哲 学 者 の 間 で 様 々 な 見 解 が あ る 。 

概 要 

数 学 の 最 も 普 通 の 定 義 と し て は 、 「 数 お よ び 図 形 に つ い て の 学 問 」 と い う も の が あ る 。 し か し 、 19世 紀 の ヨ ー ロ ッ パ で 集 合 論 が 提 起 さ れ て か ら は 、 「 数 学 と は 何 か 」 と い う こ と が 問 い 直 さ れ る よ う に な っ て お り ( 数 学 基 礎 論 ) 、 数 学 の 対 象 、 方 法 、 文 化 史 的 な 価 値 な ど に つ い て 研 究 す る 数 理 哲 学 ま で 生 ま れ て い る 。 よ っ て 、 現 代 的 な 意 味 で は 数 学 は も は や 「 数 お よ び 図 形 に つ い て の 学 問 」 と い っ た 単 純 な 定 義 で 済 ま せ て お け な い 状 態 に あ る 。 

数 学 と は 、 狭 義 に は 伝 統 的 な 数 論 や 幾 何 学 な ど の 分 野 に お け る 研 究 と そ の 成 果 の 総 称 と し て 、 ま た そ れ ら の 成 果 を 肯 定 的 に 内 包 す る 公 理 と 推 論 か ら な る 論 理 と 理 論 の 体 系 を 指 し て 言 う も の で あ る 。 ま た 広 義 に は 、 超 数 学 ( メ タ 数 学 ) な ど と 呼 ば れ る 枠 組 み に 従 っ て 、 公 理 と 推 論 規 則 が 定 め ら れ た 体 系 一 般 を 指 す 。 現 代 的 な 数 学 に お い て は 、 公 理 的 に 定 義 さ れ る 抽 象 的 な 構 造 を 、 数 理 論 理 学 を 共 通 の 枠 組 み と し て 用 い て 探 究 す る 。 

数 学 は 、 西 欧 の 学 問 分 類 で は 一 般 に 「 形 式 科 学 」 に 分 類 さ れ 、 自 然 科 学 と は は っ き り 区 別 さ れ て い る 。 方 法 論 の 如 何 に よ ら ず 最 終 的 に は 、 数 学 と し て の 成 果 と い う も の は 他 の 自 然 科 学 の よ う に 実 験 や 観 察 に よ る も の で あ っ て は な ら な い 。 

数 学 、 特 に 伝 統 的 な 純 粋 数 学 で は 数 学 研 究 が 自 己 目 的 化 さ れ て お り 、 数 学 へ の 内 的 な 興 味 の た め に 研 究 が な さ れ る 。 こ の よ う な 数 学 で は い か に 本 質 的 な 概 念 な り 定 理 な り を 得 て 、 体 系 的 な 数 学 を 構 築 す る か が 重 要 視 さ れ て お り 、 数 学 的 対 象 を 記 述 す る の に 適 し た 概 念 や 空 間 を 定 義 し た り 、 数 学 的 事 象 を う ま く 表 現 し た 定 理 を 得 た り す る こ と が 数 学 者 の 主 な 仕 事 で あ る 。 一 方 で 、 美 的 な 理 由 か ら そ れ ぞ れ の 分 野 で の 研 究 を し て い る 数 学 者 も い る 。 彼 ら は 対 称 性 や 直 観 性 な ど そ の 独 特 の 審 美 眼 を 以 て 、 数 学 を 芸 術 に 近 し い も の と み な し て い る の で あ る 。 こ の 分 野 に つ い て は 数 学 の 哲 学 、 数 学 的 な 美 に 詳 し い 。 

伝 統 的 な 数 学 分 野 で 研 究 さ れ る 対 象 は 物 理 現 象 と 深 い 関 わ り を 持 つ も の が 多 い 。 一 方 、 応 用 分 野 で は 数 理 モ デ ル と い う 形 で 、 例 え ば 計 算 機 や 言 語 な ど と い っ た も の を 対 象 と し た 研 究 が 行 わ れ る 。 も ち ろ ん 、 数 理 モ デ ル に お け る 演 繹 か ら 得 ら れ る 成 果 と 実 際 と の 間 に 幾 分 か の ず れ を 生 じ る こ と も あ る が 、 そ の ず れ の 評 価 と モ デ ル の 実 用 性 ・ 実 効 性 に つ い て は 多 く は 数 学 の 外 の 話 で あ る 。 ま た 、 数 学 と パ ズ ル の 類 似 性 が 指 摘 さ れ る 事 が あ る が 、 数 学 が 本 質 性 や 体 系 性 を 重 要 視 す る こ と に 照 ら せ ば 、 パ ズ ル は む し ろ 奇 を て ら い 非 体 系 的 で あ る 。 こ う し た 研 究 姿 勢 が し ば し ば 様 々 な 数 学 の 諸 分 野 を 統 一 す る よ う な 概 念 へ と 導 い た り 、 他 分 野 の 学 問 の 発 展 に 貢 献 し た り す る こ と に 繋 が る 。 

研 究 

数 学 の 起 源 は 人 類 が 農 耕 を 始 め た こ と と の 関 連 が 大 き い 。 農 作 物 の 分 配 管 理 や 商 取 引 の た め の 計 算 、 農 地 管 理 の た め の 測 量 、 そ し て 農 作 業 の 時 期 を 知 る 暦 法 の た め の 天 文 現 象 の 周 期 性 の 解 明 な ど で あ る 。 こ れ ら 三 つ の 必 要 性 は 、 そ の ま ま 数 学 の 大 き な 三 つ の 区 分 、 構 造 、 空 間 、 変 化 の そ れ ぞ れ の 研 究 に 大 体 対 応 し て い る と い え よ う 。 こ の 時 点 で は 、 例 え ば 土 木 工 事 な ど の 経 験 か ら 辺 の 比 が  3 : 4 : 5で あ る 三 角 形 が 直 角 三 角 形 に な る こ と は 知 ら れ て い て も 、 一 般 に 直 角 三 角 形 の 辺 の 長 さ の 比 が  c2 = a2 + b2 ( c, b, a は 辺 の 長 さ ) に な る こ と ( ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 ま た は 三 平 方 の 定 理 ) は 知 ら れ て い な か っ た 。 数 学 が 独 立 し た 学 問 で な く 純 粋 な 実 用 数 学 で あ っ た 時 代 に は 、 あ た か も 自 然 科 学 に お け る デ ー タ の よ う に こ れ ら の 関 係 を 扱 い 、 例 を 多 数 挙 げ る こ と で 正 し さ を 主 張 す る と い っ た 手 法 で も さ し て 問 題 視 さ れ な か っ た 。 し か し 数 は 無 限 に 存 在 す る た め 、 沢 山 の 数 を 調 べ て も 完 全 に 証 明 す る こ と は で き な い 。 数 学 が 一 つ の 学 問 と し て 研 究 さ れ る よ う に な っ て 以 降 は 、 論 理 を 用 い て 真 偽 を 判 定 す る 「 数 学 的 証 明 」 が 発 達 し た 。 現 代 の 数 学 で は 証 明 は 非 常 に 重 視 さ れ て い る 。 

現 代 に お け る 純 粋 数 学 の 研 究 は 主 に 代 数 学 、 幾 何 学 、 解 析 学 の 三 分 野 に 大 別 さ れ る 。 ま た 、 こ れ ら の 数 学 を 記 述 す る の に 必 要 な 道 具 を 与 え る 論 理 を 研 究 す る 学 問 を 数 学 基 礎 論 と い う 。 

分 野 

以 下 の 分 野 や 項 目 の 一 覧 は 、 数 学 に 対 す る 一 つ の 有 機 的 な 見 方 を 反 映 し て い る 。 

便 宜 上 の 分 類 

  • 代 数 学 
  • 幾 何 学 
  • 解 析 学 
  • 集 合 論 
  • 情 報 科 学 
  • 確 率 論 
  • 統 計 学 
  • 論 理 学 
  • 数 学 に 関 す る 賞 

  • フ ィ ー ル ズ 賞 ( 国 際 数 学 連 合 ) 
  • ネ ヴ ァ ン リ ン ナ 賞 ( 国 際 数 学 連 合 ) 
  • ガ ウ ス 賞 ( 国 際 数 学 連 合 ) 
  • ア ー ベ ル 賞 ( ア ー ベ ル 記 念 基 金 ) 
  • 春 季 賞 ( 日 本 数 学 会 ) 
  • ヴ ェ ブ レ ン 賞 ( ア メ リ カ 数 学 会 ) 
  • フ ラ ン ク ・ ネ ル ソ ン ・ コ ー ル 賞 ( ア メ リ カ 数 学 会 ) 
  • ヨ ー ロ ッ パ 数 学 会 賞 ( ヨ ー ロ ッ パ 数 学 会 ) 
  • ウ ル フ 賞 数 学 部 門 ( ウ ル フ 財 団 ) 
  • 「 ノ ー ベ ル 数 学 賞 」 は 存 在 し な い 。 

    ※ 参照元:https://ja.wikipedia.org


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